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  • Théorème de Pythagore

    Formulaire de report


    Théorème


    En deux dimensions

    Théorème de Pythagore :
    Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des autres côtés$$a^2=b^2+c^2$$
    Théorème de Pythagore :
    Étant donné trois points distincts \(A,B,C\), les droites \((AC)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires si et seulement si $$AB^2=CA^2+CB^2$$

    (Distance, Droite perpendiculaire)

    Cas général

    Théorème de Pythagore :
    Soient \(f_1,\ldots,f_n\) des fonctions orthogonales deux à deux
    Alors : $$\left\lVert\sum^n_{i=1} f_i\right\rVert^2=\sum^n_{i_1}\lVert f_i\rVert^2$$

    (Orthogonalité (Eléments orthogonaux))
    Théorème de Pythagore dans un espace de Hilbert :
    • \(f,g\) sont orthogonaux

    $$\Huge\iff$$
    • $$\lVert f+g\rVert^2=\lVert f\rVert^2+\lVert g\rVert^2$$



    S'il y a un moins

    On a : $${{\lVert f-g\rVert^2}}={{\lVert f\rVert^2+\lVert g\rVert^2-2\langle{f,g}\rangle }}$$

    Notions liées

    Triplet pythagoricien

    Exercices

    Sur les côtés \(AB\) et \(DC\) du rectangle \(ABCD\), les points \(F\) et \(E\) sont choisis de manière à ce que \(AFCE\) soit un losange
    Si \(AB=16\) et \(BC=12\), trouver \(EF\)


    Calculons \(x=AF\) : $$\begin{align} x^2=FC^2&=FB^2+BC^2\\ &=(16-x)^2+12^2\\ &=x^2-32x+(16^2+12^2)\end{align}$$ donc \(32x=16^2+12^2=400\), et donc \(x=\frac{25}2=AF\)

    Si \(O\) est le milieu de \([EF]\), alors \((AEO)\) est rectangle en \(O\), donc $$\begin{align} AE^2&=EO^2+OA^2\\ &=\frac{EF^2}4+\frac{AC^2}4\end{align}$$ $$\frac{625}4=\frac{EF^2}4+100\implies EF=15$$

    (Rectangle, Losange)



  • Rétroliens :
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    • Projection orthogonale - Projeté orthogonal (géométrie)
    • Règle du cosinus - Formule d'Al Kashi
    • Segment
    • Théorème de la base hilbertienne
    • Triplet pythagoricien